ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102732
Темы:    [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).


Подсказка

Примените теорему Чевы.


Решение

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим BC = a, AC = b, AB = a. Пусть A', B', C' — точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC, AC, AB соответственно, K — точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB, p — полупериметр треугольника.

Тогда

BA' = BK = AK - AB = p - c.

Аналогично

A'C = p - bCB' = p - aB'A = p - cAC' = p - bC'B = p - a.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{AC'}{C'B}}$ . $\displaystyle {\frac{BA'}{A'C}}$ . $\displaystyle {\frac{CB'}{B'A}}$ = $\displaystyle {\frac{p-b}{p-a}}$ . $\displaystyle {\frac{p-c}{p-b}}$ . $\displaystyle {\frac{p-a}{p-c}}$ = 1.

Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .