ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102734
Темы:    [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть S' — окружность, гомотетичная с коэффициентом $ {\frac{1}{2}}$ вписанной окружности s треугольника относительно точки Нагеля, а S — окружность, гомотетичная окружности s с коэффициентом - $ {\frac{1}{2}}$ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:

а) окружности S и S' совпадают;

б) окружность S касается средних линий треугольника;

в) окружность S' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB соответственно, A2, B2, C2 — точки касания вневписанных окружностей треугольника с этими сторонами, K — точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AC, P — точка касания вписанной окружности со стороной BC, Q — центр вписанной окружности, M — точка пересечения медиан, p — полупериметр треугольника, N — точка Нагеля.

Поскольку BP = p - AC = p - b и CA2 = CK = AK - AC = p - b, то BP = CA2. Поэтому середина A1 стороны BC является также серединой отрезка PA2.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке A, переводящую вневписанную окружность, касающуюся стороны BC, во вписанную окружность треугольника ABC. При этой гомотетии точка A2 переходит в точку E лежащую на отрезке AA2 и на вписанной окружности треугольника ABC, причём касательная к этой окружности, проведённая в точке E, параллельна стороне BC. Поэтому точки E, Q и P лежат на одной прямой, причём Q — середина PE.

Поскольку Q и A1 — середины сторон треугольника A2PE, то отрезок A1Q — средняя линия этого треугольника. Поэтому A1Q$ \Vert$AA2.

Аналогично докажем, что B1Q$ \Vert$BB2 и C1Q$ \Vert$CC2.

Тогда при гомотетии с центром M и коэффициентом - $ {\frac{1}{2}}$ точка A переходит в точку A1, луч AA2 — в луч A1Q, точка B — в точку B1, луч BB2 — в луч B1Q, точка C — в точку C1, луч CC2 — в луч C1Q. Точка N пересечения прямых AA2, BB2, CC2) переходит в точку пересечения прямых A1Q, B1Q, C1Q, т.е. в центр Q вписанной окружности s треугольника ABC. Значит, точка M лежит на отрезке QN и MN = 2MQ. При этом окружность s переходит во вписанную окружность S треугольника A1B1C1,

При гомотетии с центром N и коэффициентом $ {\frac{1}{2}}$ точки A, B, C переходят соответственно в середины A', B', C' отрезков NA, NB, NC, а вписанная окружность s треугольника ABC — во вписанную окружность S' треугольника A'B'C'. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что треугольники A1B1C1 и A'B'C' равны. Значит, равны и радиусы вписанных окружностей S и S' этих треугольников. Осталось доказать, что эти окружности S и S' имеют общий центр.

Центр Q2 вписанной окружности треугольника A'B'C' лежит на отрезке NQ и делит его пополам. В то же время, центр Q1 вписанной окружности треугольника A1B1C1 лежит на продолжении отрезка QM за точку M, причём Q1 = $ {\frac{1}{2}}$QM, а т.к. MN = 2MQ, то Q1 — также середина NQ. Что и требовалось доказать.


Также доступны документы в формате TeX


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .