|
|
 |
Условие
Двое пишут 2k-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй. Третью снова первый и т.д. Может ли первый добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй хочет этому помешать? Рассмотреть случаи: а) k = 10; б) k = 15.
Решение
Пусть заданное число N = a1a2...a2k–1a2k, где ai – одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, причём цифры с нечётными номерами выбирает первый игрок (А), а цифры с чётными номерами – второй (В). Обозначим Si = a1 + a2 + ... + ai. Число N делится на 9 тогда и только тогда, когда S2k делится на 9.
Пусть k делится на 3. Докажем, что в этом случае выигрывает игрок В. Для этого на любой ход a2i–1 игрока А он должен отвечать ходом a2i = 6 − a2i–1. При этом S2i = 6i при любом i ≤ k, в частности, S2k = 6k делится на 9.
Пусть теперь k не делится на 3. Покажем, что тогда выигрывает игрок А. Для этого ему достаточно выбрать a1 = 3, а затем применить тактику В в первом случае, то есть на любой ход a2i игрока В отвечать ходом a2i+1 = 6 − a2i. При этом S2k = 3 + 6(k − 1) + a2k = 6k − 3 + a2k.
Если k = 3n + 1, то
S2k = 18n + 3 + a2k при делении на 9 дает остаток 3 + a2k ≤ 8. Если же k = 3n + 2, то остаток от деления S2k = 18n + 9 + a2k на 9 равен a2k ≠ 0. В каждом из этих случаев число S2k не делится на 9.
Ответ
а) Может; б) не может.
