ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103931
Темы:    [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.
Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.


Решение

  Пусть треугольник ABC с наибольшим углом C разрезан на три подобных отрезками AX, BX, CX. Так как  ∠AXB > ∠ACB,  углу AXB в других треугольниках могут равняться только углы AXC и BXC. Значит,  ∠AXB = ∠AXC = ∠BXC = 120°.  Но тогда  AX = BX = CX  и треугольник ABC – правильный.
  Пусть теперь треугольник разрезали сначала прямой, проходящей через вершину, на два, а затем один из этих двух еще на два. Так как два последних треугольника подобны, они прямоугольные, то есть при первом разрезе от исходного треугольника отрезали прямоугольный, а затем оставшийся треугольник разделили на два высотой. Перебрав все варианты, нетрудно убедиться, что исходный треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. И в том, и в другом случае его можно разрезать на любое число подобных.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
класс
Класс 10
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .