ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103933
Темы:    [ Преобразования подобия (прочее) ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Вим Пайлс

На плоскости даны два отрезка A1B1 и A2B2, причём  A2B2/A1B1 = k < 1.  На отрезке A1A2 взята точка A3, а на продолжении этого отрезка за точку А2 – точка А4 так, что  A3А2/А3А1 = А4А2/А4А1 = k.  Аналогично на отрезке В1В2 берётся точка В3, а на продолжении этого отрезка за точку В2 – точка В4 так, что
В3В2/В3В1 = В4В2/В4В1 = k.  Найти угол между прямыми А3В3 и А4В4.


Решение 1

  Пусть O – центр не сохраняющего ориентацию подобия, переводящего A1 в A2 и B1 в B2. Так как треугольники OA1B1 и OA2B2 подобны,
A1OB1 = ∠B2OA2  и биссектрисы углов A1OA2 и B1OB2 совпадают. Так как  OA2 : OA1 = OB2 : OB1 = k,  эта общая биссектриса пересекает отрезки A1A2 и B1B2 в точках A3 и B3, а перпендикулярная ей прямая пересекает продолжения этих отрезков в точках A4 и B4 (рис. слева). Следовательно, искомый угол прямой.


Решение 2

  Пусть    по условию  |v|² = k²|u|².  Тогда       (*)
  С другой стороны,       (**)
  Умножив (*) на k/1+k, (**) на 1/1+k и сложив полученные равенства, имеем  
  Аналогично получаем     Отсюда     то есть векторы ортогональны.


Решение 3

Автор: Сафин С.

  Построим параллелограмм A1A2B2X и проведём биссектрису A1Y треугольника A1XB1 (рис. справа). Так как  B1Y/XY = A1B1/A1X = k,  то  B3Y || B2X  и
B3Y = kB2X = A1A3.  Следовательно, A1A3B3Y – параллелограмм, то есть  A3B3 || A1Y.
  Аналогично прямая A4B4 параллельна внешней биссектрисе угла XA1B1, и, значит, прямые A3B3 и A4B4 перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
класс
Класс 10
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .