Задача 103934

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема синусов ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.

Решение

  Пусть B' – точка пересечения первой окружности Ω с прямой CA, O – её центр, O' – центр другой окружности Ω'. Прямая CO' – биссектриса угла ACB, поэтому пересекает Ω в середине K дуги A'B'. Степень точки O' относительно Ω равна  O'O² – OС² = 2,  значит,  O'K·O'C = 2.  Пусть  ∠A'CO' = γ,  тогда
sin γ = ^O'B/_CO' = ¹/_CO',  а  A'K = 2 OC sin γ = ²/_CO' = O'K.  По лемме о трезубце (см. задачу 55381) O' – центр вневписанной окружности треугольника A'CB', то есть прямая A'B' касается окружности Ω' в некоторой точке C'.
  Следовательно,  ∠A'O'A = ∠AO'C' + ½ C'O'B = ∠CB'A' + ½ CA'B',  ∠O'A'O = ∠O'A'B' + ∠B'A'O = ^π/₂ – ∠C'O'A' + ^π/₂ – ∠BCA = π – ∠BCA – ½ CA'B' = ∠CB'A' + ½ CA'B'.  Так как  O'A = OA',  AO'A'O – равнобедренная трапеция, и  AA' = OO' =   (см. рис.).

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	10
Задача
Номер	5