ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 104098
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Периметр треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник АВС. Точка К – середина стороны АВ, точка М лежит на стороне ВС, причём  ВМ : МС = 1 : 3.  На стороне АС выбрана точка P так, что периметр треугольника РКМ – наименьший из возможных. В каком отношении точка Р делит сторону АС?

Решение

Рассмотрим точку M', симметричную точке М относительно прямой АС. Согласно решению задачи 52489 Р – точка пересечения KМ' и АС. Так как
MPC = ∠M'PC = ∠KPA,  то треугольники МРС и КPA подобны по двум углам. Следовательно,  AP : CP = АК : CM = ½ : ¾ = 2 : 3.


Ответ

2 : 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2006
класс
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .