Задача 104104

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Найдите все такие функции  f(x), что  f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.

Решение 1

Пусть  t = 2x + 1,  тогда  x = ½ (t – 1).  Следовательно,  f(t) = (t – 1)² + 7(t – 1) + 7 = t² + 5t + 1.

Решение 2

4x² + 14x + 7 = (4x² + 4x + 1) + 10x + 5 + 1 = (2x + 1)² + 5(2x + 1) + 1.

Ответ

f(x) = x² + 5x + 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2006
класс
Класс	11
задача
Номер	3