ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 104112
Темы:    [ Многоугольники (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В вершинах правильного девятиугольника расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, после чего на каждой диагонали пишут произведение чисел, стоящих на её концах. Можно ли так расставить числа в вершинах, чтобы все числа на диагоналях были разные?


Решение

Например, числа можно расставить в таком порядке:  3 – 8 – 1 – 6 – 2 – 9 – 4 – 5 – 7.


Ответ

Можно.

Замечания

  Идеология. Некоторые попарные произведения чисел от 1 до 9 совпадают. Например,  1·6 = 2·3.
  Чтобы число 6 не оказалось написанным на двух диагоналях, нужно поставить рядом (на концах одной их сторон девятиугольника; сторона диагональю не считается) или числа 1 и 6, или числа 2 и 3. Аналогично следует поступить и с другими такими сомножителями.
  Вот полный список повторяющихся произведений:  1·6 = 2·3,  1·8 = 2·4,  2·6 = 3·4,  2·9 = 3·6,  3·8 = 4·6.
  Достаточно расставить числа так, чтобы в каждом из этих равенств сомножители хотя бы одного произведения стояли рядом (то есть на стороне девятиугольника, а не на диагонали).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Дата 2005
Номер 28
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .