|
|
 |
Условие
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Решение
Всего в турнире разыгрывалось n(n – 1) очков. Поэтому каждый участник набрал n – 1 очко. Каждый шахматист сыграл белыми n – 1 партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из n чисел: 0, ..., n – 1. Предположим, что все выиграли разное число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до n – 1.
Рассмотрим двух участников турнира: A, выигравшего n – 1 партию белыми, и B, не выигравшего ни одной такой партии. Каким мог быть результат партии, которую A играл против B чёрными? С одной стороны, A набрал n – 1 очко, играя белыми, так что все свои партии чёрными, в том числе и эту, он проиграл. Но B не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Противоречие.
