ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105052
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.


Решение

  Всего в турнире разыгрывалось  n(n – 1)  очков. Поэтому каждый участник набрал  n – 1  очко. Каждый шахматист сыграл белыми  n – 1  партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из n чисел: 0, ...,  n – 1.  Предположим, что все выиграли разное число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до  n – 1.
  Рассмотрим двух участников турнира: A, выигравшего  n – 1  партию белыми, и B, не выигравшего ни одной такой партии. Каким мог быть результат партии, которую A играл против B чёрными? С одной стороны, A набрал  n – 1  очко, играя белыми, так что все свои партии чёрными, в том числе и эту, он проиграл. Но B не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 1999
вариант
Класс 8
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .