ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105127
Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a³ + b³ + 3abc > c³.


Решение

  Первый способ. Согласно неравенству треугольника  a > c – b.  Поэтому  a³ + b³ + 3abc – c³ > (c – b)³ + b³ + 3(c – b)bc – c³ = 0.

  Второй способ. Согласно неравенству треугольника  a + b > c.  Кроме того,  a² – ab + b² > 0.  Поэтому
 a³ + b³ + 3abc = (a + b)(a² – ab + b²) + 3abc > c(a² – ab + b²) + 3abc = c(a + b)² > c².

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 9
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .