ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105131
Темы:    [ Разные задачи на разрезания ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?


Решение 1

  У "нетупоугольного" треугольника есть три нетупых угла. Достаточно доказать, что при прямолинейном разрезании многоугольника, имеющего (по крайней мере) три нетупых угла, один из двух получившихся многоугольников обладает тем же свойством. Действительно, тогда после каждого шаге (в частности, после последнего) имеется часть с этим свойством. В конце же остались одни треугольники, значит, в одном из них все углы – не тупые.
  Итак, пусть есть многоугольник с тремя нетупыми углами. Разрежем его. На каждом конце разреза добавляется еще по крайней мере один нетупой угол (если разрез рассек один из нетупых углов, то оба получившихся из него угла – острые). Поэтому в двух получившихся многоугольниках – не менее пяти нетупых углов, следовательно, в одном из них – не менее трёх.


Решение 2

  Пусть в результате получилось n треугольников. Сумма их углов равна 180n°. Но эту сумму можно посчитать и по-другому. Рассмотрим все точки, являющиеся вершинами этих треугольников. Разобьём эти точки на три типа. К первому отнесём те точки, в которых сходящиеся в них углы треугольников составляют полный угол (как точка М на рисунке). Ко второму – точки, в которых эти углы составляют развёрнутый угол (как точка К). Наконец, к третьему типу отнесём вершины исходного треугольника. Если имеется m точек первого и k точек второго типа, то общая сумма углов равна  360m° + 180k° + 180°.  Отсюда  n = 2m + k + 1.

  Точка третьего типа не может являться вершиной тупого угла. Точка второго типа может являться вершиной не более чем одного тупого угла. Точка первого типа может являться вершиной не более чем двух тупых углов. (Действительно, такая точка по построению лежит на отрезке, являющемся стороной одного из "промежуточных" многоугольников, а по каждую сторону от этого отрезка к точке может "прицепляться" только один тупой угол.)
  Таким образом, количество тупых углов не превышает  2m + k = n – 1,  то есть меньше количества треугольников.


Ответ

Не могут.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 9
задача
Номер 6
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .