ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105132
Темы:    [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Неравенства с углами ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Тангенсы углов треугольника – натуральные числа. Чему они могут быть равны?


Решение

  Наименьший угол треугольника не превосходит 60°, поэтому его тангенс может равняться только 1    Значит, сумма двух оставшихся углов равна 135°. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Наименьший из этих двух углов не может равняться 45° (иначе третий угол равен 90°), но он не больше 67,5°, поэтому его тангенс меньше 3 (если  tg φ = 3,  то     значит,  2φ > 135°).  Следовательно, его тангенс равен 2. Тангенс последнего угла находится как тангенс суммы двух первых углов, взятый с противоположным знаком:  

  Второй способ. Пусть  tg α = m,  tg β = n.  Тогда     то есть  m + n = mn – 1.  Записав это уравнение в виде  (m – 1)(n – 1) = 2,  видим, что один из множителей равен 1, а второй – 2.


Ответ

1, 2 и 3.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 10
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 11
задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .