|
|
 |
Условие
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый
цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и
множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными
коэффициентами подобия)?
Решение
Рассмотрим такую раскраску квадрата: впишем круг в квадрат и раскрасим в чёрный цвет точки квадрата, лежащие вне круга; впишем в полученный круг квадрат со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. Раскрасим в белый цвет точки круга, лежащие вне "маленького" квадрата. По такому же правилу раскрасим маленький квадрат и т. д. Заметим, что мы считаем граничные точки лежащими "внутри" фигуры. Таким образом, граница каждого квадрата покрашена чёрным, за исключением четырёх точек касания вписанного в квадрат круга, а граница каждого круга - белым, за исключением четырёх вершин квадрата, вписанного в этот круг.
Пусть сторона исходного квадрата равна a, тогда сторона маленького квадрата равна a/21/2. Следовательно, длины сторон квадратов стремятся к 0. Поэтому все точки, кроме центра, будут раскрашены. Центр раскрасим в чёрный цвет.
Очевидно, что множество чёрных точек квадрата подобно множеству чёрных точек круга, вписанного в этот квадрат (второе получается из первого гомотетией с центром в центре квадрата и с коэффициентом 1/21/2. А множество белых точек квадрата просто совпадает с множеством белых точек вписанного в него круга.
