ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105150
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Три окружности одного радиуса ]
[ Площади криволинейных фигур ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке - одного радиуса, треугольник - равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет бо'льшую площадь?


Решение

Ответ: площади фигур равны.

Первое решение. Пусть площадь окружности равна Sокр, а площадь равностороннего треугольника со стороной, равной диаметру окружности, равна Sтр. Так как треугольник O1O2O3 равносторонний, его углы равны 60o, кроме того длина его стороны равна диаметрам исходных окружностей, поэтому его площадь равна Sтр.. Значит, площадь каждого из заштрихованных секторов на рис. 20 равна Sокр/6, а площадь закрашенной части равна
     
Рис. 20 Рис. 21

Sтр-3(Sокр/6)=Sтр-(Sокр/2)

Поэтому площадь второго головастика равна Sокр+Sтр-(Sокр/2)=Sокр+(Sокр/2). Очевидно, это совпадает с площадью второго головастика.

Идея второго решения. Наложим одного головастика на другого как показано на рис. 21. Нетрудно проверить, что если отрезать от первого головастика заштрихованные сегменты, и повернуть их вокруг точек A1 и B1 на 180o, то получится в точности второй головастик.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 66
Год 2003
вариант
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .