ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105165
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

Решение

Примем некоторую точку окружности за начало отсчёта. Пусть ai - длина дуги от начала отсчёта до i-й вишенки по часовой стрелке. Рассмотрим числа bi=ai-i. Из условия следует, что |bm-bk|<1 для любых m, k (достаточно рассмотреть две дуги, на которые m-я и k-я вишенки разбивают периметр торта). Пусть bs - наименьшее из них, тогда 0<bi-bs<1 для любого i. Отсюда следует, что найдётся такое x, что x<bi<x+1 для всех i. Очевидно, что разрез по радиусам, проведённым в точки с координатами x, x+1, ..., x+n-1, - искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 66
Год 2003
вариант
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .