ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105205
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что  AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.


Решение 1

Рассмотрим окружности, описанные около данных прямоугольников. Обозначим вторую точку их пересечения через X. Тогда  ∠BXN = ∠BXK = 90°.  Значит, точки N, X, K лежат на одной прямой, перпендикулярной BX. Кроме того, треугольники NAB и KLB равны. Поэтому
NXA = ∠NBA = ∠LBK = ∠LXK,  а значит, точки A, X, L также лежат на одной прямой. Аналогично, точки M, C, X лежат на одной прямой. Итак, X – точка пересечения этих трёх прямых.


Решение 2

Достроим исходный треугольник до параллелограмма ABCD.

Тогда ALKD и CDNM – также параллелограммы, откуда AL || DK, CM || DN. У подобных равнобедренных треугольников CBM и LBA боковые стороны взаимно перпендикулярны, поэтому основания – тоже, то есть CMAL. Но тогда прямая CM (и значит, DN) перпендикулярна KD и является серединным перпендикуляром к основанию KD равнобедренного треугольника CKD. Аналогично AL – серединный перпендикуляр к ND. Значит, прямые CM и AL – средние линии прямоугольного треугольника KDN и проходят через середину его гипотенузы KN.


Решение 3

Пусть F и G – середины отрезков AL и CM соответственно, X – точка пересечения этих отрезков. Тогда BFXG – прямоугольник (угол CBM получается из угла ABL поворотом на 90°, значит, и биссектрисы этих углов перпендикулярны).

 
то есть X – середина отрезка KN.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 2006
вариант
Класс 9
задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .