ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105210
Темы:    [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Неравенства с углами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

Решение

Первый способ. Пусть $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$ --углы одного из данных треугольников. Тогда

tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg$\displaystyle \gamma$ = tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg($\displaystyle \pi$ - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)) =

= tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ - tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) = tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)(1 - tg$\displaystyle \alpha$ tg$\displaystyle \beta$) - tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) =

= - tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)tg$\displaystyle \alpha$ tg$\displaystyle \beta$ = tg$\displaystyle \alpha$ tg$\displaystyle \beta$tg$\displaystyle \gamma$.

Таким образом доказано, что равенство tg$ \alpha$ + tg$ \beta$ + tg$ \gamma$ = tg$ \alpha$tg$ \beta$tg$ \gamma$ верно для углов любого треугольника. Но в остроугольном треугольнике тангенс каждого угла положителен, поэтому их произведение --положительно. В тупоугольном треугольнике тангенс тупого угла отрицателен, а два других тангенса положительны, поэтому произведение трех тангенсов отрицательно.

Второй способ. Так как наибольший угол в тупоугольном треугольнике больше, чем в остроугольном, а сумма углов одинакова, то один из углов остроугольного треугольника больше одного из углов тупоугольного. Пусть в остроугольном треугольнике это угол $ \alpha$. Другие два угла обозначим $ \beta$ и $ \gamma$. В тупоугольном треугольнике обозначим выбранный угол $ \alpha{^\prime}$, другой острый угол --$ \beta{^\prime}$, а тупой угол --$ \gamma{^\prime}$. Поскольку углы $ \beta{^\prime}$, и  $ \pi$ - $ \gamma{^\prime}$ > $ \beta{^\prime}$ --острые, то в силу возрастания тангенса tg($ \pi$ - $ \gamma{^\prime}$) > tg$ \beta{^\prime}$, а это, учитывая тождество tg($ \pi$ - $ \gamma{^\prime}$) = - tg$ \gamma{^\prime}$, равносильно неравенству tg$ \gamma{^\prime}$ + tg$ \beta{^\prime}$ < 0. Следовательно,

tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg$\displaystyle \gamma$ > tg$\displaystyle \alpha$ > tg$\displaystyle \alpha{^\prime}$ > tg$\displaystyle \alpha{^\prime}$ + tg$\displaystyle \beta{^\prime}$ + tg$\displaystyle \gamma{^\prime}$.

Таким образом, сумма тангенсов углов в остроугольном треугольнике всегда больше, чем в тупоугольном. Следовательно, двух треугольников, указанных в условии задачи, не существует.

Ответ

Нет, не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 2006
вариант
Класс 10
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .