|
|
 |
Условие
Найти все несократимые дроби а/b, представимые в виде b,а (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел b и а).
Решение
Пусть натуральные числа a и b взаимно просты, а десятичная запись числа a имеет n знаков. Тогда условие задачи для них записывается в виде уравнения
a : b = b + a·10–n ⇔ 10n(a – b²) = ab, из которого следует, в частности, что a > b. В силу взаимной простоты чисел a и b, число a – b² не имеет общих делителей ни с a, ни с b, следовательно, уравнение превращается в систему из двух уравнений a – b² = 1, 10n = ab.
В силу все той же взаимной простоты чисел a и b (с учётом неравенства a > b), последнему уравнению удовлетворяют
только пары (10n, 1) и (5n, 2n). Первая пара при подстановке даёт для числа n уравнение 10n = 2, которое, очевидно, не имеет решений.
Вторая пара даёт уравнение 5n – 4n = 1 ⇔ (5/4)n = 1 + (¼)n. Так как его левая часть представляет собой возрастающую функцию от n, а правая – убывающую, то оно имеет не более одного корня, который легко угадывается: n = 1.
Ответ
5/2.
