ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105217
Темы:    [ Развертка помогает решить задачу ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Свойства разверток ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус так, чгобы сделать вокруг его оси бесконечно много оборотов? Ленту нельзя наматывать на вершину конуса, а также разрезать и перекручивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол между осью и образующей конуса достаточно мал.


Решение

\epsfbox{pic11.1}

Разрежем конус по какой-либо образующей и изобразим на плоскости его развёртку, представляющую собой плоский угол A0OA1 величины $ \alpha$ (рис.). След ленты на ней, изображающий первый виток, будет выглядеть, как полоса с параллельными краями, проходящая от стороны OA0 к стороне OA1. Приложим к этому углу еще одну развёртку конуса --угол A1OA2 той же величины $ \alpha$. Перейдя через сторону OA1 нового угла, след ленты продолжит ту же полосу на второй развёртке, пока не дойдет до стороны OA2, изобразив второй виток, и т.д.

Если лента делает n витков, причем n > $ \pi$/$ \alpha$, то полоса (по условию, не проходящая через точку O) пересекает лучи OA0, OA1,..., OAn, что невозможно, так как тогда $ \pi$ > $ \angle$A0OAn = n$ \alpha$ > $ \pi$. Поэтому число n витков ленты не превышает $ \pi$/$ \alpha$, а значит, заведомо конечно.

Комментарий. Зная из опыта об описанном в задаче эффекте, медицинская сестра, когда бинтует больному, скажем, руку, расширяющуюся от кисти к локтю, регулярно перекручивает бинт, чтобы он не сползал все время в сторону локтя.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 2006
вариант
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .