ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105219
Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.


Решение

  Пусть A – вершина данного угла, O – фиксированная точка на биссектрисе, OBC – рассматриваемый равнобедренный треугольник  (OB = OC)  и M – середина стороны BC. Треугольник OBC может располагаться так, что  AB = AC.  При этом точка M лежит на биссектрисе AO, причём для любой точки M на биссектрисе AO, кроме точек A и O, можно построить равнобедренный треугольник OBC так, что M будет серединой отрезка BC. Таким образом, весь луч AO, кроме точек A и O, входит в искомое ГМТ.
  Пусть теперь  AB ≠ AC  (см. рис.). Пусть D – точка, симметричная точке C относительно биссектрисы AO. Тогда D лежит на луче AB и  OD = OC = OB.  Опустим перпендикуляр OK на BD. Так как  OB = OD,  то  BK = KD и, следовательно, KM – средняя линия треугольника BDC. Поэтому  KM || DC  и
KMAO.  Таким образом, в этом случае точка M обязана лежать на таком отрезке KL, что L и C лежат по одной стороне угла,  OKAB  и  KLAO.

  Обратно, пусть M – любая точка указанного отрезка KL, не лежащая на биссектрисе и отличная от точек K и L. Проведём через M прямую, перпендикулярную OM. Пусть она пересекает стороны угла в точках B и C. Пусть  ∠ BAO = ∠OAC = α.  Так как  OKAB  и  KMAO,  то
OKM = ∠BAO = α.  Так как  ∠BKO = ∠BMO = 90°,  то точки B, K, M, O лежат на одной окружности. Отсюда  ∠OBM = ∠OKM = α  (как вписанные). Тогда ∠OBC = α = ∠OAC  и, следовательно, точки A, C, O, B лежат на одной окружности. Так как   ∠BAO = ∠OAC = α,  то равны хорды BO и OC. Таким образом, треугольник OBC – равнобедренный и  BM = MC,  то есть M входит в искомое ГМТ.

Ответ

Биссектриса угла без его вершины и фиксированной точки, а также отрезок, соединяющий основания перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки на стороны угла (без концов). На рисунке это луч AO без точек A и O и отрезок KL без точек K и L.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 2006
вариант
Класс 11
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .