Задача 107625
|
|
 |
Условие
Дан бумажный круг. Можно ли с помощью ножниц разрезать его на несколько частей, из которых складывается квадрат той же площади? (Резать разрешается по прямым и дугам окружностей).Решение
Допустим, что это можно сделать. Тогда край каждого кусочка состоит из отрезков и дуг окружностей. Для каждой дуги определим её "угловую меру", равную отношению длины этой дуги к радиусу, причём взятому с положительным знаком, если радиус-вектор, проведённый из центра окружности, торчит "внутрь" нашего бумажного кружочка, и с отрицательным, если он торчит во внешнюю сторону.Теперь поставим в соответствие каждому кусочку сумму угловых мер его дуг. Нетрудно видеть, что если мы "состыкуем" вместе два кусочка A и B, то сумма угловых мер кусочка A + B равна (сумма угловых мер кусочка A) + (сумма угловых мер кусочка B). Это происходит оттого, что если две дуги склеиваются, то сумма их угловых мер равна 0.
Отсюда мы получаем, что сумма угловых мер дуг на границе круга должна совпадать с суммой угловых мер дуг на границе квадрата. Но это не так: для круга это число равно 2π, а для квадрата — 0.
