ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107673
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов — n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.
                                     _
                                   _|_|_
                                 _|_|_|_|_
                               _|_|_|_|_|_|_
                              |_|_|_|_|_|_|_|
                           .....................
                         _ _ _ _           _ _ _ _
                        |_|_|_|_| ....... |_|_|_|_|
Рис. 1

Решение

На рисунке 2 показано, как фигуру, данную в условии задачи, разрезать на две части (квадраты в одной из частей перечёркнуты) и из этих частей сложить квадрат. Количество клеточек в квадрате, нарисованном на клетчатой бумаге, очевидно, равно квадрату количества клеток, расположенных вдоль его стороны.
Рис. 2

Таким образом, мы не только показали, что количество клеточек равно квадрату некоторого числа (что требовалось в условии задачи), но и нашли это число (n), то есть показали, что 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2 (n > 0).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 1999
Название конкурс по математике
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .