Условие
Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?
Решение
Рассмотрим произвольный четырёхугольник
ABCD. Т. к.
A +
B +
C +
D = 360
o, то либо
A +
B ≥ 180
o, либо
C +
D ≥ 180
o. Аналогично, либо
B +
C ≥ 180
o, либо
D +
A ≥ 180
o. Пусть, без ограничения общности,
A +
B ≥ 180
o и
B +
C ≥ 180
o. Тогда рассмотрим параллелограмм с вершинами
A,
B,
C и сторонами
AB и
BC. Пусть
E — его четвёртая вершина. Тогда
ABC +
BCE = 180
o ≤
ABC +
BCD. Аналогично,
ABC +
BAE = 180
o ≤
ABC +
BAD. Отсюда следует, что отрезки
CE и
EA лежат внутри или на сторонах четырёхугольника
ABCD.
 |
| Рис. 1 |
Ответ
Да, из всякого.
Источники и прецеденты использования
