ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107674
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Общие четырехугольники ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

Решение

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD. Т. к. ugolA + ugolB + ugolC + ugolD = 360o, то либо ugolA + ugolB ≥ 180o, либо ugolC + ugolD ≥ 180o. Аналогично, либо ugolB + ugolC ≥ 180o, либо ugolD + ugolA ≥ 180o. Пусть, без ограничения общности, ugolA + ugolB ≥ 180o и ugolB + ugolC ≥ 180o. Тогда рассмотрим параллелограмм с вершинами A, B, C и сторонами AB и BC. Пусть E — его четвёртая вершина. Тогда ugolABC + ugolBCE = 180ougolABC + ugolBCD. Аналогично, ugolABC + ugolBAE = 180ougolABC + ugolBAD. Отсюда следует, что отрезки CE и EA лежат внутри или на сторонах четырёхугольника ABCD.
Рис. 1

Ответ

Да, из всякого.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 1999
Название конкурс по математике
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .