ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107736
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Перебор случаев ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  49/98 = 4/8.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".


Решение

  Рассмотрим все возможные случаи сокращений.

  1)  .  Получаем  (10b + a)c = (10b + c)abc = bab ≠ 0,  следовательно,  c = a,  а по условию дробь правильная. Поэтому решений нет.

  2)  .   Аналогично первому случаю получаем, что решений тоже нет.

  3)  .   Получаем  (10b + a)c = (10c + b)a,  откуда  9c(a – b) = b(c – a).  Так как дробь правильная, то  a < c.  Следовательно,  a > b,  откуда  a – b ≥ 1.
9c(a – b) ≥ 9c > 9(ca) ≥ b(ca), то есть  9c(a – b) > b(c – a),  что невозможно.

  4)  .   Тогда  (10a + b)c = (10b + c)a,  откуда  9a(b – c) = b(c – a).  Как в предыдущем случае замечаем, что  b > c > a.  Значит,  c – a  не может равняться 9, поэтому b кратно 3.
  Если  b = 3,  то  c = 2,  a = 1.  Но эти значения не удовлетворяют уравнению.
  Если  b = 6,  то  c – a = 3,  откуда  c = 5,  a = 2  или  c = 4,  a = 3.  Оба варианта годятся.
  Если  b = 9,  то  a(9 – c) = c – a,  то есть  10a = c(a + 1).  Так как a и  a + 1  взаимно просты, то 10 делится на  a + 1.  Значит,  a = 1  или  a = 4,  откуда, соответственно,  c = 5  или  с = 8.


Ответ

26/65, 16/64, 19/95, 49/98.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название конкурс по математике
Год 2003
Задача
Номер 2
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 12
Название Шутки и ошибки
Тема Парадоксы
задача
Номер 12.003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .