ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107755
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Теория игр (прочее) ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

Решение

  Первый случай. Если k > l, то выигрывает Коля: ему достаточно отрезать от k часть, которая будет больше суммы всех остальных.

Например, можно разрезать k на части (рис.)

l + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$(k - l ),$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$(k - l ),$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$(k - l ).

Тогда самая большая часть l + $ {\frac{2}{3}}$(k - l ) не может быть стороной никакого треугольника: по неравенству треугольника сумма длин двух остальных сторон должна быть больше, но сумма длин всех остальных отрезков (равная l + $ {\frac{1}{3}}$(k - l )) меньше длины этой части.

Второй случай. Если k$ \le$l, то выигрывает Лёва. Пусть Коля разрезал k на части k1$ \ge$k2$ \ge$k3. Тогда Лёва разрежет l так, чтобы его большая часть равнялась большей части отрезка Коли, а две другие были равными между собой (рис.):

l = k1 + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$.

Тогда получатся два равнобедренных треугольника:

(k1, k1, k2),        $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right.$$\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$,$\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$, k3$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right)$

Действительно, из отрезков a, a, b можно сложить равнобедренный треугольник тогда и только тогда, когда b < 2a. Очевидно, что k2 < 2k1. С другой стороны,

2 . $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ = l - k1 > k3,

так как k1 + k3 < k$ \le$l.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 57
Год 1994
вариант
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .