ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107768
Темы:    [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Производная и экстремумы ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции y = x4, опускают вишенку — шар радиуса r. При каком наибольшем r шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус r круга, лежащего в области y$ \ge$x4 и содержащего начало координат?)

Решение

\epsfbox{1994/ol94113-1.mps}

  Решим сначала другую задачу: построим окружность с центром на оси y, которая касается оси x и выясним, при каком наименьшем радиусе r она имеет с кривой y = x4 общую точку, отличную от начала координат (рис.). Иначе говоря, при каком наименьшем r система уравнений

y = x4,    x2 + (y - r)2 = r2

имеет ненулевое решение. Интуитивно ясно, что эти задачи эквивалентны, позже мы докажем это строго.

Подставим y = x4 в уравнение окружности. Приведем подобные члены и сократим на x2 (x > 0):

x6 - 2rx2 + 1 = 0

Выразим r через x:

r(x) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \Bigl($x4 + $\displaystyle {\frac{1}{x^2}}$$\displaystyle \Bigr)$.

Искомое число r0 есть минимум этой функции. Производная функции равна

r'(x) = 2x3 - $\displaystyle {\frac{1}{x^3 }}$.

При x > 0 эта производная ведет себя следующим образом: она отрицательна при x < x0 = $ {\frac{1}{\sqrt[6]2}}$, равна нулю в точке x0 и положительна при x > x0. Значит, r(x) убывает при 0 < x < x0, достигает минимума при x = x0 и возрастает при x > x0.

Итак, наименьшее r, при котором окружность имеет общую точку с кривой y = x4, —

r0 = r(x0) = $\displaystyle {\frac{3\sqrt[3]2}{4}}$.

Осталось показать, что это r0 дает ответ и в исходной задаче. Покажем, сначала, что соответствующая вишенка целиком содержится в бокале. Действительно, при любом x$ \ne$ 0 имеем r0$ \le$r(x). Подставляя в это неравенство выражение для r(x), получаем, что при любом x

x6 - 2r0x2 + 1$\displaystyle \ge$0.

Умножая обе части на x2 и подставляя y = x4, получим

x2 + (y - r0)2$\displaystyle \ge$r02

при всех x, y = x4. Но это и значит, что вишенка находится в бокале.

Осталось показать, что если r > r0, то вишенка не коснется начала координат. Действительно, в этом случае

x06 - 2rx02 + 1 < 0,

поэтому при y0 = x04 имеем

x02 + (y0 - r)2 < r2.

Это означает, что окружность радиуса r, касающаяся оси абсцисс в начале координат, пересекает график функции y = x4. Поэтому вишенка не касается дна.

Комментарии. 1o. Нетрудно видеть, что "максимальная" вишенка касается кривой y = x4 в начале координат и еще в двух точках.

2o. Аналогичную задачу можно решить для графика функции y = | x|a при любом a. Для абсциссы точки касания "максимальной вишенки" получаем уравнение x2(a - 1) = $ {\frac{a-2}{a}}$.

а) При a > 2 есть ненулевое решение, и ситуация такая же, как и при a = 4;

б) при a = 2 получим x = 0 и r = 1/2 — радиус кривизны графика в точке (0;0), — максимальная вишенка касается параболы в единственной точке;

в) при 0 < a < 2 никакой круг не может коснуться "дна" графика.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 57
Год 1994
вариант
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .