Информация о задаче

Задача 107790

Темы:	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что

| x| + | y| + | z| $\displaystyle \le$ | x + y - z| + | x - y + z| + |-x + y + z|,

где x, y, z — действительные числа.

Решение

Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей (см. комментарий), имеем:

| x + y - z| + | x - y + z| $\displaystyle \ge$ |(x + y - z) + (x - y + z)| = 2| x|.

Аналогично получаются неравенства

| x - y + z| + | - x + y + z| $\displaystyle \ge$ 2| z|,
| - x + y + z| + | x + y - z| $\displaystyle \ge$ 2| y|.

Сложив все три неравенства и разделив получившееся неравенство на 2, получим требуемое неравенство.

Комментарий. Неравенство | x + y| $\le$ | x| + | y| можно доказать разбором случаев. Приведем элегантное доказательство. Так как обе части неравенства неотрицательны, их можно возвести в квадрат, и неравенство заменится на равносильное. То есть достаточно доказать, что

| x + y|² $\displaystyle \le$ (| x| + | y|)².

Пользуясь тем, что для любого a выполняется равенство | a|² = a² и раскрывая скобки, приходим к неравенству:

x² + 2xy + y² $\displaystyle \le$ x² + 2| x| | y| + y².

Но это очевидно.

Заметим, также, что неравенство верно и для векторов. Доказательство сохраняется с небольшими изменениями. На плоскости это неравенство равносильно неравенству треугольника.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	58
Год	1995
вариант
Класс	11
задача
Номер	1