ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107797
Тема:    [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что a + $ {\frac{b^2}{a}}$ = b + $ {\frac{a^2}{b}}$. Верно ли, что a = b?

Решение

  Приведем левую часть к общему знаменателю: a + $ {\frac{b^2}{a}}$ = $ {\frac{a^2+b^2}{a}}$. Аналогично поступим с правой частью. Получим равенство:

$\displaystyle {\frac{a^2+b^2}{a}}$ = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2}{b}}$.

Из условия видно, что a$ \ne$ 0, b$ \ne$ 0. Поэтому a2 + b2 > 0 (см. комментарий). Значит, обе части равенства можно поделить на a2 + b2. Получим $ {\frac{1}{a}}$ = $ {\frac{1}{b}}$, откуда a = b.

Комментарий. Следующие очевидные утверждения часто используются при решении задач (и вообще в математике): 1) квадрат ненулевого числа положителен, 2) сумма квадратов нескольких чисел неотрицательна. Если эта сумма равна нулю, то каждое из чисел равно нулю.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 8
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .