ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107804
Темы:    [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если для чисел a, b и c выполняются неравенства | a - b|$ \ge$| c|, | b - c|$ \ge$| a|, | c - a|$ \ge$| b|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.

Решение

  Первый способ. Предположим, сначала, что одно из чисел равно нулю. Пусть, например, a = 0 (остальные случаи аналогичны). Тогда получим неравенства: | b|$ \ge$| c| и | c|$ \ge$| b|, откуда | b| = | c|, т. е. b = c или b = - c. В первом случае b = a + c, во втором a = b + c. Все доказано.

Пусть теперь ни одно из чисел a, b и c не равно нулю. Без ограничения общности можно считать, что число a — максимальное по модулю среди чисел a, b и c (т. е. | a|$ \ge$| b|, | a|$ \ge$| c|). Также можно считать, что a > 0 (в противном случае произведем замену: a = - a1, b = - b1, c = - c1). Тогда | a| = a, | a - b| = a - b, | a - c| = a - c.

При этих предположениях из неравенства | b - c|$ \ge$| a| следует, что числа b и c не могут иметь одинаковых знаков (подумайте, почему).

Возможны два случая.

1o. b > 0, c < 0. Тогда | b| = b, | c| = - c и | b - c| = b - c, так что мы получаем неравенства a - b$ \ge$ - c, b - c$ \ge$a, a - c$ \ge$b. Из первого неравенства следует, что b$ \le$a + c, из второго — что b$ \ge$a + c, значит, b = a + c.

2o. b < 0, c > 0. Тогда, аналогично предыдущему случаю, получим неравенства a - b$ \ge$c, c - b$ \ge$a, a - c$ \ge$ - b. Следовательно, в этом случае одновременно выполняются неравенства c$ \ge$a + b, c$ \le$a + b, т. е. c = a + b. Таким образом, в обоих случаях утверждение доказано.

Второй способ. Возведем неравенство | a - b|$ \ge$| c| в квадрат и перенесем все члены в левую часть, получим (a - b)2 - c2$ \ge$ 0. Разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов, получим: (a - b - c)(a - b + c)$ \ge$ 0, или, что то же самое,

(a - b - c)(b - c - a)$\displaystyle \le$0.

Аналогично получаем, что произведения (b - c - a)(c - a - b) и (c - a - b)(a - b - c) также неположительны.

Перемножая эти произведения находим, что

(a - b - c)2(b - c - a)2(c - a - b)2$\displaystyle \le$0.

Мы видим, что произведение неотрицательных чисел не превосходит 0, значит, одно из этих чисел равно 0, откуда следует требуемое утверждение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .