ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107816
Темы:    [ Многочлены Чебышева ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .


Решение

Введем обозначения  a = b = x = a + b.  Заметим, что  ab = 1,  то есть  x = a + 1/a.  Воспользуемся формулами

   

Подставляя значение  a³ + 1/a³  из второго равенства в первое, получаем

Отсюда, учитывая, что  a5 + b5 = 4,  получаем  x5 = 4 + 5(x³ – 3x) + 10x,  или  x5 – 5x³ + 5x – 4 = 0.


Ответ

x5 – 5x³ + 5x – 4.

Замечания

Задача свелась к тому, чтобы выразить  a5 + a–5  через  a + a–1.  На самом деле, можно выразить  an + a–n  через  a + a–1  при любом натуральном n:
an + a–n = Pna + a–1).  Многочлены Pn связаны с так называемыми многочленами Чебышева Tn (см. задачу 61099) формулой   Tn(x) = ½ Pn(2x).  Это следует из соотношения  cos x = ½ (eix + e–ix}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .