ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107829
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом шестиугольнике AC1BA1CB1   AB1 = AC1BC1 = BA1CA1 = CB1  и  ∠A + ∠B + ∠C = ∠A1 + ∠B1 + ∠C1.
Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.


Решение

Отрежем от шестиугольника треугольники  BA1C, CB1A, AC1B  и приложим их друг к другу так, чтобы вершины A1, B1 и C1 совместились, сторона A1C первого треугольника совместилась со стороной B1C второго, а сторона B1A второго – со стороной C1A третьего. Так как сумма углов шестиугольника равна 720°, то  ∠A1 + ∠B1 + ∠C1 = 360°.  Отсюда следует, что сторона C1B третьего треугольника автоматически совместится со стороной A1B первого. Таким образом, из трёх отрезанных треугольников мы сложили треугольник со сторонами, равными  BC, CA и AB.  Значит,  SBA1C + SCB1A + SAC1B = SABC,  что и требовалось доказать.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 60
Год 1997
вариант
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .