ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107831
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.


Решение

  Разделим участников турнира на две группы. В группу A зачислим шахматистов, набравших во втором турнире больше очков, чем в первом, а в группу B – оставшихся (набравших во втором турнире меньше очков, чем в первом). Пусть общая сумма всех очков шахматистов группы A увеличилась на D. Тогда общая сумма всех очков шахматистов группы B уменьшилась на D. По условию сумма 2D модулей всех изменений не меньше 2n².
  Заметим, что изменение результата партии между шахматистами одной группы не влияет на сумму 2D, а изменение результата партии между двумя шахматистами разных групп вносит в эту сумму не более 2 очков (если в первом турнире выиграл шахматист из B, а во втором – из A). Если группа A состоит из m шахматистов, то в турнире играется всего  m(2n – m) ≤ n²  "межгрупповых" партий, поэтому  2D ≤ 2n².  Следовательно,  2D = 2n²,  и каждый из 2n шахматистов "внес" в сумму 2D ровно n очков.

Замечания

1. Из решения видно, что условие может выполняться лишь в следующем случае: спортсмены разбились на две группы по n человек, причём в первом турнире все игроки первой группы выиграли у всех игроков второй группы, а во втором турнире все игроки второй группы выиграли у всех игроков первой.

2. 5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 60
Год 1997
вариант
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .