ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107833
Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?

Решение

  Первый способ. Введем в пространстве координаты и рассмотрим координатные плоскости $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$, заданные уравнениями x = 0, y = 0 и z = 0 соответственно. Рассмотрим шар B, заданный неравенством

x2 + y2 + z2$\displaystyle \le$1.

Его проекция на плоскость $ \alpha$ — круг радиуса 1 с центром в начале координат. Множество точек, которые проецируются в этот круг, представляет собой цилиндр (обозначим его C1), который задается неравенством

x2 + y2$\displaystyle \le$1.

Аналогично определим цилиндры C2 и C3, как множества точек, которые проецируются в единичные круги с центрами в начале координат, лежащие в плоскостях $ \beta$ и $ \gamma$ соответственно.

Пусть C — пересечение цилиндров C1, C2 и C3. Мы утверждаем, что C — требуемое тело. Оно выпукло, так как пересечение выпуклых множеств выпукло.

Покажем, что проекции тела C на плоскости $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$ — круги. Рассмотрим, например, плоскость $ \alpha$. Проекция тела C на эту плоскость содержится в единичном круге, так как проекция цилиндра C1 совпадает с единичным кругом, а C содержится в C1. С другой стороны, этот единичный круг содержится в теле C, значит, проекция содержит круг. Итак, проекция тела C на плоскость $ \alpha$ содержит единичный круг и содержится в единичном круге, а, значит, совпадает с ним.

Осталось доказать, что тело C не является шаром. Точка $ \Bigl($$ {\frac{\sqrt2}{2}}$,$ {\frac{\sqrt2}{2}}$,$ {\frac{\sqrt2}{2}}$$ \Bigr)$ содержится в каждом из цилиндров C1, C2 и C3 (например, x2 + y2 = $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{1}{2}}$$ \le$1), так что эта точка содержится в C. С другой стороны, она не принадлежит единичному шару — расстояние от нее до начала координат равно

$\displaystyle \sqrt{\Bigl(\frac{\sqrt2}2\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\sqrt2}2\Bigr)^2
+\Bigl(\frac{\sqrt2}2\Bigr)^2}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac32}$ > 1.

Поэтому C$ \ne$B.

Остается один вопрос, который может показаться глупым: а не может ли C оказаться шаром, отличным от B? Нетрудно видеть, что не может: проекции тела C на плоскости $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$ такие же как у шара B, но ясно, что два шара, имеющие одинаковые проекции на координатные плоскости, совпадают (проверьте!).

Второй способ. [набросок] Рассмотрим шар и его проекции на три плоскости. Пусть некоторая точка A сферы не проецируется ни на одну из границ проекций. Тогда некоторый круг с центром в точке A обладает тем же свойством. Отрежем от шара соответствующий кусочек — получим фигуру, не являющуюся шаром, но дающую те же самые проекции на рассматриваемые плоскости.


Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 60
Год 1997
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .