|
|
 |
Условие
В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение – 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.
Решение
Допустим, не все набрали одинаковое число очков. Пусть занявшие первое место (первые) набрали K очков, а занявшие последнее место (последние) – L очков. (Места определяются по очкам, а не по коэффициентам.)
Коэффициент первых – это сумма K чисел, каждое из которых не меньше L. Значит, этот коэффициент не меньше KL. Аналогично,
коэффициент последних – это сумма L чисел, каждое из которых не
больше K. Поэтому коэффициент последних не превосходит KL.
Так как коэффициенты первых и последних равны, то они равняются KL. Следовательно, каждый первый выиграл K встреч у набравших L очков, то есть у "последних", а каждый последний выиграл L встреч у набравших K очков. Если число первых больше одного, то один из них выиграл у другого, что противоречит предыдущему. Значит, на первом месте один спортсмен. Аналогично на последнем месте только один спортсмен.
По условию в турнире есть третий участник. Из доказанного следует, что он не проигрывал ни первому, ни последнему, то есть выиграл у них обоих. Но тогда он набрал больше очков, чем первый, поскольку первый выиграл только у последнего. Противоречие.
