Задача 107838

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Решение

  Достаточно доказать, что любой начальный кусок последовательности первых цифр степеней пятерки встречается (в обратном порядке) в последовательности первых цифр степеней двойки.
  Рассмотрим числа: 2–1, 2^–2, ..., 2^–n. Последовательность первых ненулевых цифр их десятичных записей есть в точности последовательность первых цифр десятичных записей чисел 5, 25, ..., 5ⁿ. Таким образом, если добавить.
  Поэтому для решения задачи достаточно показать, что для любого k существует такая степень двойки  x = 2ⁿ,  десятичная запись которой имеет вид
1y,  где y – оставшаяся часть десятичной записи. Иными словами,  x = 10^N + y,  причём  y < 10^N–k.

  В этом случае  2^n–1 = 2ⁿ : 2 = 500...0*,  2^n–2 = 250...0*,  2^n–3 = 1250...0*,  то есть  2^n–l совпадает с первой цифрой числа 5^l при  l < k.
  Существование нужной степени двойки – частный случай задачи 77898.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	10
задача
Номер	6