ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107843
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Замена переменных ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Положительные числа a, b и c таковы, что  abc = 1.  Докажите неравенство

+ + ≤ 1.


Решение 1

  Обозначим  a = x³,  b = y³,  c = z³.  Тогда  xyz = 1.  Поскольку  x² – xy + y² ≥ xy,  имеем  x³ + y³ ≥ (x + y)xy,  откуда

= = .
Складывая это неравенство с двумя аналогичными, получим получим требуемое неравенство.


Решение 2

  После приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок (с учётом того, что  abc = 1)  неравенство принимает вид

a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc² ≥ 2(a + b + c).        (*)
  Приведём несколько доказательств неравенства (*).

  Первый способ. Запишем неравенство (*) в виде:  (ab + ac + bc)(a + b + c) – 3abc ≥ 2(a + b + c).  Поделив на  a + b + c  и заменив abc на 1, приведём его к виду:  
  Полученное неравенство очевидно, так как согласно неравенству Коши

    и  

  Второй способ. Рассмотрим выражение    ,   как среднее арифметическое 18 чисел (одночлены с коэффициентом 7 рассматриваются как сумма 7 равных слагаемых). Применив неравенство Коши, получим

 ,   или    
  Сложив это неравенство с двумя аналогичными, полученными заменой a и b, а затем a и c, получим неравенство (*).

  Третий способ. Умножив очевидное неравенство  b2 + 1 ≥ 2b   (**)  на a, получим   ab2 + a ≥ 2ab.     (1)
  Умножив (**) на c/b и заменив 1/b на ac, получим   ac2 + bc ≥ 2c.     (2)
  Аналогично  a²c + ab ≥ 2a,     (3)
      b²c + ab ≥ 2b.     (4)
  Можно считать, что числа расположены в порядке возрастания:  a ≤ b ≤ c.  Тогда  a ≤ 1 ≤ c  и  (c – 1)(ca²) ≥ 0.  Раскрыв скобки, получим
 a² + c² ≥ a²c + c.  Умножая на b и заменяя abc на 1, получим, наконец, неравенство   a²b + bc² ≥ bc + a.     (5)
  Складывая неравенства (1) – (5), получим неравенство (*).

Замечания

1. См. также также Задачник Кванта, решение задачи М1597 б).

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 60
Год 1997
вариант
Класс 11
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .