ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107866
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
[ Деление с остатком ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите в натуральных числах уравнение  3x + 4y = 5z.


Решение

  Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, то есть 1. Поэтому z чётно. Левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому x тоже чётно. Итак,   4y = 5z – 3x = 52v – 32u,  то есть  22y = (5v – 3u)(5v + 3u).  Поэтому  5v – 3u = 2k  и  5v + 3u = 2l,  где k и l – целые неотрицательные числа и  k + l = 2y.  Таким образом,  5v = ½ (2k + 2l) = 2k–1 + 2l–1  и  3u = 2l–1 – 2k–1.
  Значит, число  2l–1 – 2k–1  нечётно, поэтому  k = 1,  2k = 2  и  3u = 2l–1 – 1.  Следовательно,  l – 1 = 2s  (иначе левая часть не делится на 3). Тогда
3u = (2s – 1)(2s + 1)  – произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Ясно, что эти множители – 1 и 3, то есть
s = 1,  l = 3.  Отсюда  x = y = z = 2.


Ответ

(2, 2, 2).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 61
Год 1998
вариант
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .