Задача 107867

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Поворот и винтовое движение ] [ Двумерные поверхности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Анисов С.С.

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

Решение

  Требуемая конструкция изображена на рисунке.

  Шестерёнки  13 – 61  и 1 содержатся в плоскости Oxy; остальные шестерёнки содержатся в плоскостях, перпендикулярных плоскости Oxz. При этом шестёренки 13, 15, 17, ..., 61 вращаются по часовой стрелке, если смотреть на плоскость Oxy сверху, а шестерёнки 14, 16, ..., 60, 1 – против часовой стрелки. На участке  1 – 13  этой цепочки происходит "перемена чётности": шестерёнки 1 и 13 вращаются в разных направлениях (на плоскости Oxy).

Замечания

Искушённый читатель, конечно, заметил, что эта задача – задача про лист Мёбиуса (см. рис.). Феномен "смены чётности" связан с тем, что лист Мёбиуса является неориентируемой (или односторонней) поверхностью.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	11
задача
Номер	5