Задача 107994

Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Средняя линия треугольника ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N   середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы  OM + ON,  когда угол ACB меняется.

Решение

  Пусть ABDE – построенный квадрат, а  ∠C = γ.
  OM – средняя линия треугольника ACD, значит,  CD = 2OM.  Аналогично  CE = 2ON.  Поэтому достаточно найти максимум  CD + CE = 2(OM + ON).

  Первый способ. На стороне BC треугольника ABC построим внешним образом квадрат CBD₁E₁ (см. рис.). Треугольники ABD₁ и DBC равны по двум сторонам и углу между ними. Значит CD = AD₁.

  В треугольнике ACD₁ две стороны известны:  AC = b,  CD₁ = a.  Кроме того,  ∠ACD₁ = γ + 45°.  Третья сторона AD₁ принимает максимальное значение, когда треугольник вырождается в отрезок. Поэтому CD достигает максимума, равного  b + a,   при  γ = 135°.  Аналогично CE достигает максимума, равного  a + b  при том же значении γ.
  Итак, каждая из величин OM, ON достигает максимума при   γ = 135°.  Значит, и их сумма максимальна при  γ = 135°:   max (OM + ON) = (a + b).
  Второй способ. Обозначим  ∠A = α,  ∠B = β,  AB = c,  CD = d,  CE = e.  По теореме косинусов  c² = a² + b² – 2ab cos γ,
e² = b² + c² – 2bc cos(90° + α) = b² + c² + 2bc sin α.  Подставив c² из первой формулы во вторую и воспользовавшись теоремой синусов, получим:
e² = 2b² + a² – 2ab cos γ + 2bc sin α = 2b² + a² + 2ab(sin γ – cos γ).  Аналогично,  d² = 2a² + b² + 2ab(sin γ – cos γ).  Отсюда следует, что максимум d и e достигается одновременно с максимумом выражения  sin γ – cos γ,  то есть при  γ = 135°.  Значит, и  d + e  максимально при  γ = 135°.

  Третий способ. По неравенству Птолемея (см. задачу 57373)  CD·AB ≤ BC·AD + AC·BD,  т.е.     Равенство достигается, когда четырёхугольник ACBE вписанный. Далее как в первом способе.

Ответ

(a + b).

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4344
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	56
Год	1993
вариант
Класс	10
задача
Номер	6