ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108001
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.


Подсказка

Примените гомотетию.


Решение

Пусть K, L, P и N – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Тогда KLMN – квадрат. Поскольку точка пересечения медиан делит каждую медиану треугольника в отношении  2 : 1,  считая от вершины, то при гомотетии с центром M и коэффициентом ⅔ четырёхугольник KLMN переходит в четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM. Значит, последний четырёхугольник также является квадратом.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4280
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .