ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108004
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.


Подсказка

Рассмотрите гомотетию данного треугольника с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом –½.


Решение 1

Легко видеть, что указанные прямые являются биссектрисами треугольника A'B'C' с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.


Решение 2

При гомотетии с центром в точке M пересечения медиан треугольника ABC и коэффициентом –½ прямые, содержащие биссектрисы треугольника ABC, переходят в параллельные им прямые, проходящие через середины сторон треугольника ABC. Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то их образы при рассматриваемой гомотетии также пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4283

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .