ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108005
Темы:    [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Примените теорему Чевы.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим треугольник ABC . Обозначим BC=a , AC=b , AB=a . Пусть A' , B' , C' – точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC , AC , AB соответственно, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB , p – полупериметр треугольника. Тогда

BA'=BK = AK - AB = p-c.

Аналогично
A'C=p-b, CB'=p-a, B'A = p-c, AC'=p-b, C'B=p-a.

Поэтому
· · = · · =1.

Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4284
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 8
Название Теорема Чевы
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.071.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .