ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108022
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.


Решение

  Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC,  A1C1 || AC  и  A1B1 || AB.

  Первый способ. Точки A1 и C1 лежат на окружности с диаметром AC. Поэтому AC1A1C – вписанная трапеция, значит, она равнобедренная, то есть  ∠A = ∠C.  Аналогично доказывается, что   ∠A = ∠B.

  Таким образом, треугольник ABC – равносторонний. Значит,  B1C1 || BC

  Второй способ. (A. Liu) Прямые CC1 и BB1 содержат высоты треугольника A1B1C1. Значит, ортоцентры треугольников ABC и A1B1C1 совпадают, откуда следует, что  AA1B1C1,  то есть  B1C1 || BC.

Замечания

2 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4301
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .