ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108031
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата ABCD выбрана такая точка M, что  ∠MAC = ∠MCD = α.  Найдите величину угла ABM.


Подсказка

Докажите, что точка M лежит на окружности с центром в точке B и радиусом BA.


Решение

Поскольку  ∠DCM = ∠MAC < 45°,  точка M лежит внутри треугольника ACD. Рассмотрим описанную окружность треугольника AMC. В силу того же равенства углов, DC – касательная к этой окружности (точки D и A лежат по разную сторону от хорды MC). Поэтому центр окружности – пересечение прямой CB и серединного перпендикуляра к диагонали AC, то есть совпадает с B. Следовательно,  ∠ABM = 2∠ACM = 90° – 2α.


Ответ

90° – 2α.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4311
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .