Задача 108031
|
|
 |
Условие
Внутри квадрата ABCD выбрана такая точка M, что ∠MAC = ∠MCD = α. Найдите величину угла ABM.
Подсказка
Докажите, что точка M лежит на окружности с центром в точке B и радиусом BA.
Решение
Поскольку ∠DCM = ∠MAC < 45°, точка M лежит внутри треугольника ACD. Рассмотрим описанную окружность треугольника AMC. В силу того же равенства углов, DC – касательная к этой окружности (точки D и A лежат по разную сторону от хорды MC). Поэтому центр окружности – пересечение прямой CB и серединного перпендикуляра к диагонали AC, то есть совпадает с B. Следовательно, ∠ABM = 2∠ACM = 90° – 2α.
Ответ
90° – 2α.
Замечания
3 балла
