ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108034
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что  ∠BMC = 90° + ½ ∠BAC  и прямая AM содержит центр O описанной окружности треугольника BMC. Докажите, что точка M – центр вписанной окружности треугольника ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Докажите, что точка O лежит на описанной окружности треугольника ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

   Продолжим отрезок AM за точку M до пересечения c этой окружностью в точке P. Если  ∠BAC = 2α,  то  ∠BMC = 90° + α.

   Поскольку BMC и BPC – противоположные углы вписанного четырёхугольника BMCP, а BOC – центральный угол, то
BOC = 2(180° – (90° + α)) = 180° – 2α.  Значит,  ∠BOC + ∠BAC = 180°.  Поэтому точка O лежит на описанной окружности треугольника ABC. Поскольку AOC – внешний угол равнобедренного треугольника COP, то  ∠ABC = ∠AOC = 2∠OPC = 2∠MPC = 2∠MBC.  Значит, точка M лежит на биссектрисе угла ABC.
  Аналогично M лежит на биссектрисе угла ACB. Следовательно, M – центр вписанной окружности треугольника ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4314
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .