Задача 108034
|
|
 |
Условие
Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что ∠BMC = 90° + ½ ∠BAC и прямая AM содержит центр O описанной окружности треугольника BMC. Докажите, что точка M – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Подсказка
Докажите, что точка O лежит на описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Продолжим отрезок AM за точку M до пересечения c этой окружностью в точке P. Если ∠BAC = 2α, то ∠BMC = 90° + α.
∠BOC = 2(180° – (90° + α)) = 180° – 2α. Значит, ∠BOC + ∠BAC = 180°. Поэтому точка O лежит на описанной окружности треугольника ABC. Поскольку AOC – внешний угол равнобедренного треугольника COP, то ∠ABC = ∠AOC = 2∠OPC = 2∠MPC = 2∠MBC. Значит, точка M лежит на биссектрисе угла ABC.
Аналогично M лежит на биссектрисе угла ACB. Следовательно, M – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Замечания
4 балла
