|
|
 |
Условие
Даны две окружности, лежащие одна вне другой. Пусть A1 и A2 – наиболее удалённые друг от друга точки пересечения этих окружностей с их линией центров, так что A1 лежит на первой окружности, а A2 – на второй. Из точки A1 проведены два луча, касающиеся второй окружности, и построен круг K1, касающийся этих лучей и первой окружности изнутри. Из точки A2 проведены два луча, касающиеся первой окружности, и построен круг K2, касающийся этих лучей и второй окружности изнутри. Докажите, что круги K1 и K2 равны.
Подсказка
Используя подобие треугольников, выразите радиусы кругов K1 и K2 через радиусы данных окружностей и расстояние A1A2.
Решение
Пусть R1 и R2 – радиусы первой и второй окружностей соответственно, O1 и O2 – центры этих окружностей, B1 – точка касания с кругом K1 луча с началом в точке A1, касающегося второй окружности в точке B2, A1A2 = d, 1 – радиус круга K1 с центром Q, r2 – радиус круга K2 (см. рисунок).
Из подобия треугольников A1B1Q и A1B2O2 следует, что или
Отсюда
В силу симметрии r2 имеет то же значение.
Замечания
4 балла
