ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108051
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Пятиугольники ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.


Решение

Пусть P, Q, R, S и T – точки касания вписанной в пятиугольник ABCDE окружности со сторонами AE, AB, BC, CD и DE соответственно. Ясно, что (см. рис.)  ∠QOT = 2∠AOE = 2∠DOC = ∠ROT.  Поскольку и  ∠BOQ = ∠BOR,  то углы между BO и OT, отсчитанные по и против часовой стрелки, равны. Следовательно, точки B, O и T лежат на одной прямой, что и требовалось.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4331
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 12
Дата 1990/1991
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .