ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108070
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ ГМТ и вписанный угол ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.


Решение

  Выберем произвольную точку A' внутри стороны BC и проведём отрезок AA'. Очевидно, что среди отрезков с началом в точке C и концом на стороне AB имеются только два, равных отрезку AA'. Это такие отрезки CC1 и CC2, что  ∠C1CA = ∠C2CB = ∠A'AC  (см. рис.).

  Рассмотрим точки P1 и P2 пересечения AA' c прямыми CC1 и CC2 соответственно. Точка P1 лежит на высоте треугольника ABC, проведённой из вершины B, а для точки P2 имеем:  ∠AP2C = 180° – ∠A'AC – ∠C2CA = 180° – ∠A'AC – (60° – ∠A'AC) = 120°,  то есть отрезок AC виден из точки P2 под углом 120°. Значит, геометрическое место точек P2 – это дуга окружности (без концов A и C). На этой же дуге лежит центр O треугольника ABC. Проводя приведённые рассуждения в обратном порядке, убедимся, что все точки дуги AOC удовлетворяют условию задачи.


Ответ

Фигура, состоящая из высоты BH (без точек B и H) и дуги AOC (без точек A и C).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4350
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 58
Год 1995
вариант
Класс 10
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 58
Год 1995
вариант
Класс 9
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .