ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108075
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности?


Подсказка

Центр вписанной окружности равноудалён от вершины прямого угла треугольника и от концов указанной в условии проекции.


Решение

  Пусть O – центр, а r – радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, P, Q и T – точки касания этой окружности соответственно с катетами AC, BC и гипотенузой AB; MN – проекция окружности на гипотенузу (см. рис.).

  Первый способ. Поскольку CPOQ – квадрат со стороной r, то  OC = r.  Аналогично находим, что  OM = ON = r.  Значит, точки C, M и N лежат на окружности с центром O и радиусом r.  Поскольку MON – центральный угол этой окружности, а MCN – вписанный, то  ∠MCN = ½ ∠MON = 45°.

  Второй способ. Через точки M и N проведём касательные к окружности, не совпадающие с прямой AB (см. рис.). Пусть X и Y – точки их касания с окружностью, а F и G – точки их пересечения с катетами AC и BC соответственно. Тогда  CF = CP+ PF = r + PF = r + FX = MX + FX = MF.
  Значит, треугольник CFM – равнобедренный. Аналогично треугольник CNG – равнобедренный. Проведём высоту CH треугольника ABC. Тогда
MF || CH || NG,  поэтому  ∠HCM = ∠CMF = ∠MCF,  ∠HCN = ∠CNG = ∠NCG.  Следовательно,  ∠MCN = ∠HCM + ∠HCN = ½ ∠C = 45°.


Ответ

45°.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4355
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .