|
|
 |
Условие
Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности?
Подсказка
Центр вписанной окружности равноудалён от вершины прямого угла треугольника и от концов указанной в условии проекции.
Решение
Пусть O – центр, а r – радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, P, Q и T – точки касания этой окружности соответственно с катетами AC, BC и гипотенузой AB; MN – проекция окружности на гипотенузу (см. рис.).
Первый способ. Поскольку CPOQ – квадрат со стороной r, то OC = r. Аналогично находим, что OM = ON = r
. Значит, точки C, M и N лежат на окружности с центром O и радиусом r
. Поскольку MON – центральный угол этой окружности, а MCN – вписанный, то ∠MCN = ½ ∠MON = 45°.
Второй способ. Через точки M и N проведём касательные к окружности, не совпадающие с прямой AB (см. рис.). Пусть X и Y – точки их касания с окружностью, а F и G – точки их пересечения с катетами AC и BC соответственно. Тогда CF = CP+ PF = r + PF = r + FX = MX + FX = MF.
Значит, треугольник CFM – равнобедренный. Аналогично треугольник CNG – равнобедренный. Проведём высоту CH треугольника ABC. Тогда
MF || CH || NG, поэтому ∠HCM = ∠CMF = ∠MCF, ∠HCN = ∠CNG = ∠NCG. Следовательно, ∠MCN = ∠HCM + ∠HCN = ½ ∠C = 45°.
Ответ
45°.
Замечания
4 балла
